Vakantiecursus 2007 - Wiskunde in beweging

De vakantiecursus 2007 is gewijd aan de wiskunde van veranderingen: dynami\-sche systemen. Het thema van de cursus Wiskunde in beweging verwijst ook naar de veranderingen in het wiskundeonderwijs van het vwo. De cursus biedt een hele waaier van onderwerpen, die bijna allemaal raakpunten met het nieuwe programma wiskunde D van het vwo hebben. \smallskip Op het TV-scherm zie je bij het weerbericht vaak een plaatje van een vectorveld. In ieder punt~$\vec{x}$ zie je een pijltje~$\vec{F}(\vec{x})$ dat de windrichting en -sterkte in dat punt aangeeft. We kunnen een momentopname bekijken; we nemen dan aan dat de grootte en richting van de pijltjes niet veranderen in de tijd. Om de beweging van luchtdeeltjes te vinden, zoeken we parameterkrommen met de eigenschap dat in ieder punt~$\vec{x}$ de snelheid in grootte en richting gelijk is aan~$\vec{F}(\vec{x})$; dat zijn de oplossingen van de differentiaalvergelijking $\vec{x}'=\vec{F}(\vec{x})$. Omdat het om een momentopname gaat, is het rechterlid van deze differentiaalvergelijking onafhankelijk van de tijd. Daarom noemen we de differentiaalvergelijking \emph{autonoom}. \smallskip De functie $t\to \vec{H}({\vec x},t)$ is de oplossing van de differentiaalvergelijking $\vec{x}'=\vec{F}(\vec{x})$ met \[\vec{H}({\vec{x}},0)=\vec{x}.\] De functie $\vec{H}({\vec x},t)$ in de variabelen~$\vec{x}$ en~$t$ beschrijft dan de beweging van alle punten tegelijk. Het punt $\vec{H}({\vec x},s)$ is het punt waar je na~$s$ seconden uitkomt wanneer je op tijdstip~$0$ in het punt~${\vec x}$ start. Als je nu vanuit het punt $\vec{H}({\vec x},s)$ nog eens~$t$ seconden verder gaat, kom je in $\vec{H}(\vec{H}({\vec x},s),t)$. Maar je komt in precies hetzelfde punt als je in ${\vec x}$ start en $s+t$ seconden onderweg bent. Dus: \[\vec{H}(\vec{H}({\vec x},s),t)=\vec{H}({\vec x},s+t).\] De functie~$\vec{H}$ is een \emph{dynamisch systeem}. De bovenstaande formules heten de \emph{groeps\-eigenschappen} van het systeem. Voor vaste~${\vec x}$ geeft $\vec{H}({\vec x},t)$ alle punten waar~${\vec x}$ komt. Voor vaste~$t$ vertelt $\vec{H}({\vec x},t)$ voor elk punt~${\vec x}$ waar het zal zijn op tijdstip~$t$. Als het vectorveld~${\vec F}$ afhangt van de tijd, dan hebben we te maken met een \emph{niet-autonoom} dynamisch systeem. Dat is over het algemeen een heel stuk moeilijker te begrijpen dan een autonoom dynamisch systeem. \smallskip De eenvoudigste manier om de studie van het dynamisch systeem aan te pakken is de studie van het systeem~$\vec{H}$ voor discrete waarden van~$t$, bijvoorbeeld voor de gehele waarden van~$t$. Schrijven we $\vec{H}({\vec x},1)=\vec{h}(\vec{x})$ dan volgt uit de groepseigenschappen \[\vec{H}({\vec x},2)=\vec{h}(\vec{h}({\vec x})),\] en meer algemeen \[\vec H({\vec x},n)= \vec{h}^n({\vec x}).\] Hierin is $\vec h^n$ een verkorte schrijfwijze voor de afbeelding~$\vec{h}$ die $n$ keer achter elkaar wordt toegepast. %\newpage In zijn eenvoudigste vorm gaat het in de dynamica om de studie van het gedrag van punten onder herhaalde toepassing van \'{e}\'{e}n afbeelding, dus de rijen $z, \vec{h}(z), \vec{h}(\vec{h}(z)),...$ voor verschillende getallen $z$. In de complexe dynamica is de afbeelding vaak `eenvoudig', namelijk kwadratisch of exponentieel. Dat levert hele mooie plaatjes op. Prof.dr. J.J.O.O. Wiegerinck zal uitleggen wat die plaatjes ons vertellen over de functies. Om de benodigde kennis van complexe functies op te frissen zal prof.dr. J. van de Craats een kleine cursus over complexe getallen geven. In de lezing van prof.dr. J. Hulshof wordt de overstap gemaakt naar (gewone) differentiaalvergelijkingen. De functies sinus en cosinus worden (opnieuw) gedefinieerd als oplossingen van de lineaire slingervergelijking. Op die manier kunnen vele eigenschappen van deze functies worden (her)ontdekt. Als toepassing wordt de vergelij\-king van de planetenbanen afgeleid. Over de beweging van planeten wordt nog meer uit de doeken gedaan in de voordracht Dubbelplaneten van dr. R. Kaenders. De lezing is een voorbeeld van de vervlechting van wiskunde en natuurkunde. De wetten van Newton zijn de inbreng uit de natuurkunde; de rest is wiskunde. De vergelijking van Van der Pol, die door professor Zeeman op de Nederlandse Wiskunde Dagen van enkele jaren geleden werd aangeduid als \emph{your national differential equation}, wordt behandeld in de lezing van dr. R.J. Fokkink en drs. S. Garst. De vergelijking beschrijft de Van der Pol oscillator en werd door zijn ontdekker aangewend om het hartritme te modelleren. In de voordracht Dynamica van Patronen door prof.dr. A. Doelman gaat het over patronen die voorkomen in de natuur (meanderende rivieren en vegitatie) en de veranderingen daarin. De dynamica van de patronen wordt beschreven met parti\"{e}le differentiaalvergelijkingen. In de moleculaire biologie bestudeert men dynamische processen in levende cellen op het niveau van moleculen. In de voordracht van prof.dr.ir. M.J.T. Reinders zullen enkele aspecten, met name netwerkkarakteristieken en identificatie van netwerken, aan de orde komen. Ook de natuurverschijnselen van donder en bliksem zijn onderwerp van wiskundige studie, zoals blijkt uit de lezing van dr. B.J. Meulenbroek over ontladingen en hun niet-lineaire dynamica.

• View at Worldcat

Free Full Text ( Final Version , 13mb )