Alles stroomt, maar de wiskunde daarachter is nog goeddeels onbegrepen

‘A Mind for Math: Is Diane Adler the missing female variable that finally solves the Navier-Stokes Equation?’ Zo luidt de kop van een artikel op de site van de Boston Herald in de film Gifted uit 2017, over een hoogbegaafd meisje van wie de moeder, Diane Adler, uit het leven is gestapt. Ze kon de schijnwerpers niet verdragen die op haar gericht zouden staan als ze het laatste puzzelstukje van haar oplossing van het Navier-Stokesprobleem wereldkundig zou maken.

Fictie? Zeker. Maar onrealistisch, nee. Af en toe zijn er claims van mensen die menen het Navier-Stokesprobleem te hebben opgelost. En prestatiedruk die tot psychische malaise leidt, is helaas ook geen onbekend verschijnsel.

Wat de Navier-Stokesvergelijkingen behelzen wordt in het mierzoete familiedrama niet duidelijk. Wél, dat het gaat om een van de zeven millenniumproblemen: wiskundige vraagstukken die zo moeilijk zijn, dat het Amerikaanse Clay Mathematics Institute een miljoen dollar uitlooft voor iemand die zo’n probleem oplost.

De Navier-Stokesvergelijkingen zijn formules die de dynamica van vloeistoffen en gassen beschrijven – hoe water door een pijp stroomt, of lucht over een rijdende trein. In 1822 werden ze opgesteld door de Fransman Claude-Louis Navier en in de daaropvolgende decennia, onafhankelijk van elkaar, door een aantal andere wetenschappers, onder wie de Iers-Britse natuurkundige George Stokes. Aan de basis ervan ligt de tweede wet van Newton, die zegt dat de versnelling van een bewegend object evenredig is met de kracht die erop werkt en omgekeerd evenredig met de massa van het voorwerp.

Wie naar het weerbericht kijkt, ziet de resultaten van berekeningen aan de Navier-Stokesvergelijkingen. Ingenieurs gebruiken ze bij het ontwerp van vliegtuigvleugels of windmolens. Dat lukt goed, maar het kan nog beter. De weersvoorspelling kan betrouwbaarder, het vliegen zuiniger en een windmolen winstgevender. De moeilijkheid is dat de onderliggende wiskunde nog goeddeels onbegrepen is. Daarom staan de Navier-Stokesvergelijkingen sinds 2000 op een lijst van wiskundige vraagstukken waarvan de oplossingen beloond worden met een miljoen dollar.

De stromingsvergelijkingen zijn geen vergelijkingen die bekend zijn van de middelbare school, zoals x² – 2x = 1. Zo’n vergelijking kun je zien als een soort puzzel waarbij je een onbekend getal moet zien te vinden. In het voorbeeld is x gelijk aan 1 plus of min de wortel uit 2. Bij Navier-Stokes gaat het om differentiaalvergelijkingen. Daarbij is de onbekende geen getal, maar een functie: een voorschrift dat aan elk getal uit een bepaald domein een ander getal toekent. De zogeheten afgeleide van een functie bepaalt de mate waarmee die functie verandert.

Differentiaalvergelijkingen leggen verbanden tussen een functie en de afgeleiden. Omdat veel patronen in de natuur samenhangen met maten van verandering, is de differentiaalvergelijking hét gereedschap waarmee wiskundigen dynamische processen kunnen modelleren.

Turbulente oplossingen

Eenvoudige differentiaalvergelijkingen hebben betrekking op een functie van één enkele variabele, bijvoorbeeld de tijd. Veel moeilijker wordt het als er méér variabelen in het spel zijn. Bij Navier-Stokes zijn het er vier: naast de tijd is er de locatie in onze driedimensionale ruimte. Bovendien is de viscositeit, de mate van ‘stroperigheid’, een complicerende factor. Die van honing is hoog, van water laag. Afhankelijk daarvan laten de Navier-Stokesvergelijkingen turbulente oplossingen toe. Wiskundigen spreken van ‘chaotisch gedrag’: een minieme verandering in de beginvoorwaarden kan in korte tijd tot heel andere oplossingen leiden.

Door de complexe structuur van de Navier-Stokesvergelijkingen is het wiskundigen nog nooit gelukt ze in zijn algemeenheid op een exacte manier op te lossen. Sterker, we weten niet eens of er voor elke mogelijke situatie een oplossing bestáát. Dat wil zeggen: gegeven een begintoestand en zekere randvoorwaarden, is het dan mogelijk om de snelheid en richting van de vloeistof of gas op elk punt in de ruimte en op elk tijdstip te berekenen? De miljoendollarvraag betreft het verschaffen van duidelijkheid over deze ‘existentievraag’.

Blowup

Wat is, precies tweehonderd jaar nadat de vergelijkingen voor het eerst werden opgesteld, de stand van zaken? Regelmatig verschijnen er papers over Navier-Stokes op de preprint-server arXiv. Maar alleen de beste artikelen doorstaan de toets der kritiek en daaruit blijkt: reden voor optimisme is er niet. In de laatste jaren zijn er resultaten aan het licht gekomen die erop wijzen dat het antwoord op de existentievraag best eens nee zou kunnen zijn.

Er zijn aanwijzingen dat de oplossingen van de Navier-Stokesvergelijkingen kunnen ontsporen, alsof een stroming abrupt stopt, of de bewegingssnelheid oneindig wordt. Wiskundigen spreken dan van een ‘blowup’. Vanaf het moment dat zo’n blowup plaatsvindt, hebben de vergelijkingen geen oplossingen meer. De verandering van een oneindige waarde valt immers onmogelijk te berekenen.

In 2016 toonde Terence Tao, een van ’s werelds beste wiskundigen, het bestaan van blowups aan voor een aangepaste versie van de Navier-Stokes-vergelijkingen. En twee maanden geleden zetten Jiajie Chen van New York University en Thomas Hou van het California Institute of Technology een 177 pagina’s tellende paper online, waarin ze hetzelfde deden voor vergelijkingen die het gedrag van niet-viskeuze vloeistoffen beschrijven. Het gaat om een preprint die nog niet officieel is beoordeeld, maar een expert die zelf niet bij het onderzoek betrokken was, noemt het in Quanta Magazine „een geweldig resultaat”.

Een tsunami uit het niets

Al zegt dit alles nog niks over het vóórkomen van blowups in de echte Navier-Stokes-vergelijkingen, tegen Quanta zei Hou: „Ik zie een pad voorwaarts, een manier om uiteindelijk misschien zelfs het volledige millenniumprobleem op te lossen.” En over blowups zei Tao al in 2019 in Nature Reviews Physics: „Ik geloof dat het mogelijk (maar uiterst moeilijk) is om dit gedrag te repliceren in de echte Navier-Stokes-vergelijkingen.” Als dat waar is, betekent dat niet dat in een rustige oceaan uit het niets een tsunami zal verschijnen. Wél, dat het niet-bestaan van zulk gedrag niet in de vergelijkingen ingebakken zit.

Onlangs doemde ook nog een secundair probleem op. Differentiaalvergelijkingen hebben veel verschillende oplossingen. Dat is geen verrassing, want de luchtstroom over een auto verschilt van die over de vleugels van een vliegtuig. Met kennis van begin- en randvoorwaarden kan de enige juiste oplossing worden geselecteerd. Althans, dat is de bedoeling.

Een drietal wiskundigen heeft echter aangetoond dat de theorie consistent is met twee compleet verschillende uitkomsten. Dallas Albritton, Elia Brué (beiden van het Institute for Advanced Study, Princeton) en Maria Colombo (École Polytechnique Fédérale de Lausanne) beantwoordden in het julinummer van Annals of Mathematics de vraag of een vloeistof bij volstrekt gelijke omstandigheden een tweede keer hetzelfde gedrag zal vertonen. Je zou denken van wel, maar voor een bepaalde klasse van analytische oplossingen is het antwoord nee. Het is een tweede aanwijzing dat de Navier-Stokesvergelijkingen niet universeel betrouwbaar zijn om stromingen te modelleren.

Maar ook hier geldt: verloren is de zaak nog niet. Albritton, Brué en Colombo gebruikten een kracht die puur wiskundig was geconstrueerd. Of een echte kracht die de stroming van een gas of vloeistof verandert – denk aan de zwaartekracht van de maan die eb en vloed veroorzaakt – tot dezelfde conclusie kan leiden, is nog onduidelijk.

Die ontmoedigende resultaten betekenen niet dat de Navier-Stokesvergelijkingen de prullenbak in kunnen. Benjamin Sanderse werkt als onderzoeker aan het Centrum Wiskunde & Informatica in Amsterdam en rekent aan de stromingsvergelijkingen. In een Zoomgesprek vertelt hij: „Met numerieke oplossingen van de Navier-Stokesvergelijkingen kunnen we veel praktische problemen oplossen.” Numerieke oplossingen zijn getalsmatige benaderingen. Computers kunnen zulke oplossingen berekenen doordat de ruimte en de tijd worden opgedeeld in kleine vakjes. De differentiaalvergelijkingen worden omgezet in een reeks hanteerbare vergelijkingen.

Het numeriek oplossen van Navier-Stokes vergt veel geheugen en rekenkracht en is daardoor erg duur. Sanderse werkt daarom aan efficiëntere rekenmethoden. Het leidde twee jaar geleden tot een publicatie in het Journal of Computational Physics, dat een vervolg kreeg in een onderzoek waarvan hij de resultaten onlangs als preprint postte.

Hot topic

Dat onderzoek gaat over ‘gereduceerde-orde-modellen’. „Dat is echt een hot topic”, zegt Sanderse. „Door eerst de volledige oplossing uit te rekenen, krijg je een beeld van de dynamiek van een stroming. We kijken vervolgens naar de belangrijkste kenmerken, die we gebruiken om een simpeler model te bouwen. Dat eenvoudiger model zetten we elke volgende keer in, wat tot een enorme reductie aan benodigde rekenkracht leidt.”

Als voorbeeld geeft Sanderse de luchtstroming achter de rotorbladen van windmolens. „Om erachter te komen hoe al de wervels in die stroming eruitzien, rekenen we de oplossingen van de bijbehorende Navier-Stokesvergelijkingen een paar keer volledig uit. Met het gereduceerde model kun je vervolgens, als zo’n windpark operationeel wordt en je real time wilt weten wat er gebeurt, veel sneller en goedkoper de berekeningen uitvoeren.”

De ‘gereduceerde-ordemodellen’ worden dus gebouwd op grond van slechts de meest dominante signalen. Leidt dat niet tot onbetrouwbare resultaten? Sanderse: „Natuurlijk wil je de grondslagen van de Navier-Stokesvergelijkingen in stand houden. De wet van behoud van massa, de wet van impulsbehoud: dat soort dingen mag je niet verstoren.”

Stapgrootte van de tijd

De voor de praktijk zo belangrijke numerieke methoden zullen de vraag van het Clay Mathematics Institute echter niet beantwoorden. Uit het bestaan van een benaderingsoplossing volgt immers niet automatisch dat er ook een oplossing bestaat in het limietgeval, waarin roosterpuntafstanden en de stapgrootte van de tijd naar nul gaan. Het bestaan van exacte oplossingen, in termen van wiskundige functies, blijft onbewezen.

Wat zijn de praktijkgevolgen als het millenniumprobleem is opgelost? „Als bewezen is dat er voor de Navier-Stokesvergelijkingen altijd ‘nette’ oplossingen bestaan, dan geeft dat extra vertrouwen in onze numerieke methoden”, zegt Sanderse. „Benaderingsoplossingen kunnen dan weliswaar nog steeds slecht zijn, maar dat komt dan niet door de differentiaalvergelijkingen zélf, maar door bijvoorbeeld de manier waarop je het rooster van de ruimte hebt gekozen, waarbinnen de benaderingsoplossingen zijn berekend.”

En als de vergelijkingen kunnen ontploffen, door het bestaan van blowups? Dan beschrijven ze stromingen minder goed dan gehoopt. Sanderse: „Er zou dan wel eens een beweging op gang kunnen komen in de vloeistofdynamicacommunity – op zoek naar een beter model.” Wat niet wegneemt dat al die decennia aan onderzoek bruikbaar blijven. „We zien immers dat we met Navier-Stokes nuttige antwoorden krijgen.”